Download e-book for kindle: Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung by Friedrich Wille

By Friedrich Wille

ISBN-10: 3322947653

ISBN-13: 9783322947659

ISBN-10: 3519027534

ISBN-13: 9783519027539

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem challenge: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen intestine, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die research hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren research hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

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Menge und wird mit sup an = sup {an} bzw. sup x = sup M nEN xEM bezeichnet. Die größte untere Schranke wird u n t der Folge bzw. Menge genannt, symbolisiert durch inf an =inf{a n } bzw. inf x=infM. 34) 52 2 Kontraktive Abbildungen - Konvergenz Das Supremum oder Infimum einer Menge oder Folge braucht der Menge bzw. Folge nicht anzugehören. ;; x< 1 hat z. B. I als Supremum, wobei I nicht in [0, I) enthalten ist. Entsprechend ist Null das Infimum der Folge 1, 1/2, 1/3, ... , I/n, ... , obwohl Null kein Folgenelement ist.

Mit O! = 1 und k! = 2. 3. n. k=O k. 1 . 2 . 3 ..... k, (k E N). {an} ist monoton steigend wegen an = an-I + 1In! > an-I. 6 Es sei an 1 1 1 an";; 1 + 1 + - + - + ... + 2 22 2n n 2 - 1 =2 + - - < 3. n 2 Also konvergiert {an}' Sein Grenzwert wird e genannt. Man errechnet numerisch e =2,71828183. 2 Konvergente Folgen 53 Die Zahl e, auch Eu I e r s c h e Z a h I genannt, spielt bei der Exponentialfunktion, s. Abschn. 4, eine wichtige Rolle. 9) in Abschn. 3, von dem unsere überlegungen ausgingen.

4) für jedes i = 1,2, ... O J J n n 00 n, also a~n) ..... ai für n ..... 00. (11) Konvergiert umgekehrt jede Folge {a\n)} gegen ein reelles a;, d. h. J. 0 (ftir n ..... 00), so folgt mit a = (al, ... J. 0, i=l ' • also an ..... a, was zu zeigen war. Schließlich betrachten wir spezielle divergente Folgen, wie z. B. 1,4,9, ... •• oder 1,11,2,12,3,13, ... , die zwar gegen keine reelle Zahl a konvergieren, aber in gewissem Sinn "gegen unendlich streben". Wir präzisieren dies analog wie bei konvergenten Folgen.

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by Kenneth
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